Nozioni elementari su polinomi e geometria euclidea e analitica del piano e dello spazio

Il corso introduce i concetti fondamentali dell'algebra lineare: campi, spazi vettoriali, applicazioni lineari, determinante, sistemi lineari, endomorfismi e la loro applicazione alla geometrica analitica

Possedere, saper dimostrare e utilizzare negli esercizi i concetti fondamentali dell'algebra lineare

Lezioni frontali in cui si sviluppa la teoria e si svolgono numerosi esercizi

Prova scritta con esercizi e prova orale con esercizi e dimostrazioni di teoremi

1. Concetti fondamentali: Campi e definizione di spazio vettoriale, spazi vettoriali numerici, spazio delle matrici, polinomi, funzioni su un insieme.

2. Conseguenze elementari: sottospazi, somma e intersezione di sottospazi, prodotto cartesiano di spazi vettoriali.

3. Lineare indipendenza: combinazioni lineari, sottospazio generato, lineare dipendenza e indipendenza, generatori, spazi finitamente generati.

4. Basi: basi, coordinate, esistenza di una base, teorema di completamento, dimensioni, Grassmann, somma diretta.

5. Applicazioni lineari: definizione, applicazione tra spazi numerici associata ad una matrice, spazio vettoriale delle applicazioni lineari, isomorfismi di spazi vettoriali, estensione da una base, nucleo e immagine, immagine inversa, matrice associata ad un’applicazione lineare in una coppia di basi, composizione di applicazioni lineari e prodotto tra matrici.

6. Determinante: definizione per ricorrenza, caratterizzazione con le proprietà di multilinearità, comportamento per operazioni elementari su righe e colonne, teorema di Binet, sviluppo di Laplace, matrici invertibili e determinante, rango di una matrice.

7. Sistemi lineari: applicazione della teoria ai sistemi lineari, teorema di Rouché-Capelli, formula di Cramer.

8. Endomorfismi: autovalori e autovettori, matrici simili, polinomio caratteristico, endomorfismi diagonalizzabili.

9. Geometria analitica dello spazio: piani, rette, prodotto scalare, prodotto vettore, ortogonale, sfere.

Marco Manetti "Algebra lineare, per matematici" (https://www1.mat.uniroma1.it/people/manetti/dispense/algebralineare.pdf), Lang "Algebra lineare"